有关级数的和函数？

不多说了，直接整理一下有关幂级数的和函数的问题吧。

\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}=\frac{1}{1-x}\\ \sum_{n=0}^{\infty}{(-x)^n}=\frac{1}{1+x}

这里的基本思路是一般的幂级数是不能直接求和函数的，所以我们应该把这些幂级数往这两个可以求和函数的“基本”幂级数转化。

话说这两个幂级数是不是特别眼熟呢？没错，拆分一下这个结构，一部分用高中的知识这个叫做“等比”，另外加上数学分析里的“级数”的概念。

2.1 一次项

例2.1 求级数 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2n-1}{2^n}} 的和.

解答： \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2n-1}{2^n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{（2n+2）-3}{2^n}}=2\sum_{n=1}^{\infty}{(n+1)(\frac{1}{2})^n}-3\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{2})^n}

考虑幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}{x^n}=\frac{1}{1-x} ，收敛半径为 1 ，在 (-1,1) 内逐项求导，

得到 1+\sum_{n=1}^{\infty}{(n+1)x^n}=\frac{1}{(1-x)^2} ,

在这里我们把x=\frac{1}{2} 代入上面两个幂级数中，得到

\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{2})^n}=1\\ \sum_{n=1}^{\infty}{(n+1)(\frac{1}{2})^n}=3

所以， \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2n-1}{2^n}}=3 .

好了让我们简单总结一下，这里的问题升级了，不再是简单用我们的基础模型了，但是我们发现对基础模型逐项求导之后就符合题目了。

2.2 二次项

例2.2 求 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2+n-1}{2^n}} 的和.

解答： \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2+n-1}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(n-1)+(2n-1)}{2^n} ，

对 \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(n-1)}{2^n}, S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1})^{'} =(\sum_{n=1}^{\infty}x^n)^{''} =(\dfrac{x}{1-x})^{''}\\ =\dfrac{2}{(1-x)^3}(-1